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〖题目〗：四边形ABCD中，AC平分∠BAD，
AC=AD,对角线AC、BD交于点E，且AB=AE,
求证：∠CBD=∠BAC
〖思考1〗（四点共圆）
∵∠1=∠2，AC=AD，AB=AE
∴∠ABE=∠ACD
∴四边形ABCD内接于圆，
∴∠CBD=∠CAD =∠BAC
老师，我们没学过四点共圆？
〖思考2〗（三角形相似）
∵∠1=∠2，AC=AD，AB=AE
∴∠AE=∠ACD
又∠AEB=∠DEC（对顶角）
∴△AEB∽△DEC,
∴AE:DE=EB:EC,(相似三角形对应边成比例)
又∠AED=∠BEC（对顶角）
∴△AED∽△BEC
∴∠CBD=∠CAD =∠BAC
老师，我们还没学习三角形相似？
〖思考3〗（三角形全等）
在△AED和△ABC中，
∵∠1=∠2，AC=AD，AB=AE
∴△AED≌△ABC ，∴∠AED=∠ABC
在△BCE和△ABC中，
∠CBD+∠ACD+∠BEC=180°
∠BAC+∠ACD+∠ABC=180°
而∠BEC=∠AED =∠ABC
∴∠CBD=∠BAC
老师，我们谢谢您！ |
